高中必修一数学知识点总结

高中必修一数学知识点总结

高中必修一数学知识点总结
　　高一数学必修一的学习，需要大家对知识点进行总结，这样大家最大效率地提高自己的学习成绩。下面高中必修一数学知识点总结是我为大家整理的，在这里跟大家分享一下。

　　高中必修一数学知识点总结 　　第一章 集合与函数概念
　　一、集合有关概念
　　1.集合的含义
　　2.集合的中元素的三个特性：
　　(1)元素的确定性如：世界上最高的山
　　(2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}
　　(3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合
　　3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
　　(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
　　(2)集合的表示方法：列举法与描述法。
　　注意：常用数集及其记法：X Kb 1.C om
　　非负整数集(即自然数集) 记作：N
　　正整数集 ：N*或 N+
　　整数集： Z
　　有理数集： Q
　　实数集： R
　　1)列举法：{a,b,c……}
　　2) 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合{xR|x-3>2} ,{x|x-3>2}
　　3) 语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
　　4) Venn图:
　　4、集合的分类：
　　(1)有限集 含有有限个元素的集合
　　(2)无限集 含有无限个元素的集合
　　(3)空集 不含任何元素的集合　　例：{x|x2=-5｝
　　二、集合间的基本关系
　　1.“包含”关系—子集
　　注意： 有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一集合。
　　反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A
　　2.“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)
　　实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”
　　即：① 任何一个集合是它本身的子集。AA
　　② 真子集:如果AB,且A B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)
　　③ 如果 AB, BC ,那么 AC
　　④ 如果AB 同时 BA 那么A=B
　　3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
　　规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。
　　4.子集个数：
　　有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集，含有2n-1个非空子集，含有2n-1个非空真子集
　　三、集合的运算
　　运算类型 交 集 并 集 补 集
　　定 义 由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作A B(读作‘A交B’)，即A B={x|x A，且x B｝.
　　由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集.记作：A B(读作‘A并B’)，即A B ={x|x A，或x B}).
　　设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集(或余集)
　　记作 ，即
　　CSA=
　　A A=A
　　A Φ=Φ
　　A B=B A
　　A B A
　　A B B
　　A A=A
　　A Φ=A
　　A B=B A
　　A B A
　　A B B
　　(CuA) (CuB)
　　= Cu (A B)
　　(CuA) (CuB)
　　= Cu(A B)
　　A (CuA)=U
　　A (CuA)= Φ.
　　二、函数的有关概念
　　1.函数的概念
　　设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作： y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域.
　　注意：
　　1.定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。
　　求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：
　　(1)分式的分母不等于零;
　　(2)偶次方根的被开方数不小于零;
　　(3)对数式的真数必须大于零;
　　(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
　　(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.
　　(6)指数为零底不可以等于零，
　　(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
　　相同函数的判断方法：①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);
　　②定义域一致 (两点必须同时具备)
　　2.值域 : 先考虑其定义域
　　(1)观察法 (2)配方法 (3)代换法
　　3. 函数图象知识归纳
　　(1)定义：
　　在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象.C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 .
　　(2) 画法
　　1.描点法： 2.图象变换法：常用变换方法有三种：1)平移变换2)伸缩变换3)对称变换
　　4.区间的概念
　　(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间 (2)无穷区间 (3)区间的数轴表示.
　　5.映射
　　一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f(对应关系)：A(原象) B(象)”
　　对于映射f：A→B来说，则应满足：
　　(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的;
　　(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个;
　　(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
　　6.分段函数
　　(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
　　(2)各部分的自变量的取值情况.
　　(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集.
　　补充：复合函数
　　如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。
　　二.函数的性质
　　1.函数的单调性(局部性质)
　　(1)增函数
　　设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1
　　如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.
　　注意：函数的单调性是函数的局部性质;
　　(2) 图象的特点
　　如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.
　　(3).函数单调区间与单调性的判定方法
　　(A) 定义法：
　　(1)任取x1，x2∈D，且x1
　　(2)作差f(x1)-f(x2);或者做商
　　(3)变形(通常是因式分解和配方);
　　(4)定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);
　　(5)下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).
　　(B)图象法(从图象上看升降)
　　(C)复合函数的单调性
　　复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”
　　注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.
　　8.函数的奇偶性(整体性质)
　　(1)偶函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数.
　　(2)奇函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数.
　　(3)具有奇偶性的函数的图象的特征：偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.
　　9.利用定义判断函数奇偶性的步骤：
　　○1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称;
　　○2确定f(-x)与f(x)的关系;
　　○3作出相应结论：若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0，则f(x)是偶函数;若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0，则f(x)是奇函数.
　　注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .
　　10、函数的解析表达式
　　(1)函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.
　　(2)求函数的解析式的.主要方法有：1.凑配法2.待定系数法3.换元法4.消参法
　　11.函数最大(小)值
　　○1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值
　　○2 利用图象求函数的最大(小)值
　　○3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值：
　　如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);
　　如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);
　　第三章 基本初等函数
　　一、指数函数
　　(一)指数与指数幂的运算
　　1.根式的概念：一般地，如果 ，那么 叫做 的 次方根，其中 >1，且 ∈ *.
　　负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0，记作 。
　　当 是奇数时， ，当 是偶数时，
　　2.分数指数幂
　　正数的分数指数幂的意义，规定：
　　，
　　0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
　　3.实数指数幂的运算性质
　　(1) • ;
　　(2) ;
　　(3) .
　　(二)指数函数及其性质
　　1、指数函数的概念：一般地，函数 叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R.
　　注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1.
　　2、指数函数的图象和性质
　　a>1 0
　　定义域 R 定义域 R
　　值域y>0 值域y>0
　　在R上单调递增 在R上单调递减
　　非奇非偶函数 非奇非偶函数
　　函数图象都过定点(0，1) 函数图象都过定点(0，1)
　　注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：
　　(1)在[a，b]上， 值域是 或 ;
　　(2)若 ，则 ; 取遍所有正数当且仅当 ;
　　(3)对于指数函数 ，总有 ;
　　二、对数函数
　　(一)对数
　　1.对数的概念：
　　一般地，如果 ，那么数 叫做以 为底 的对数，记作： ( — 底数， — 真数， — 对数式)
　　说明：○1 注意底数的限制 ，且 ;
　　○2 ;
　　○3 注意对数的书写格式.
　　两个重要对数：
　　○1 常用对数：以10为底的对数 ;
　　○2 自然对数：以无理数 为底的对数的对数 .
　　指数式与对数式的互化
　　幂值 真数
　　= N = b
　　底数
　　指数 对数
　　(二)对数的运算性质
　　如果 ，且 ， ， ，那么：
　　○1 • + ;
　　○2 - ;
　　○3 .
　　注意：换底公式： ( ，且 ; ，且 ; ).
　　利用换底公式推导下面的结论：(1) ;(2) .
　　(3)、重要的公式 ①、负数与零没有对数; ②、 ， ③、对数恒等式
　　(二)对数函数
　　1、对数函数的概念：函数 ，且 叫做对数函数，其中 是自变量，函数的定义域是(0，+∞).
　　注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如： ， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数.
　　○2 对数函数对底数的限制： ，且 .
　　2、对数函数的性质：
　　a>1 0
　　定义域x>0 定义域x>0
　　值域为R 值域为R
　　在R上递增 在R上递减
　　函数图象都过定点(1，0) 函数图象都过定点(1，0)
　　(三)幂函数
　　1、幂函数定义：一般地，形如 的函数称为幂函数，其中 为常数.
　　2、幂函数性质归纳.
　　(1)所有的幂函数在(0，+∞)都有定义并且图象都过点(1，1);
　　(2) 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间 上是增函数.特别地，当 时，幂函数的图象下凸;当 时，幂函数的图象上凸;
　　(3) 时，幂函数的图象在区间 上是减函数.在第一象限内，当 从右边趋向原点时，图象在 轴右方无限地逼近 轴正半轴，当 趋于 时，图象在 轴上方无限地逼近 轴正半轴.
　　第四章 函数的应用
　　一、方程的根与函数的零点
　　1、函数零点的概念：对于函数 ，把使 成立的实数 叫做函数 的零点。
　　2、函数零点的意义：函数 的零点就是方程 实数根，亦即函数 的图象与 轴交点的横坐标。
　　即：方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点.
　　3、函数零点的求法：
　　○1 (代数法)求方程 的实数根;
　　○2 (几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.
　　4、二次函数的零点：
　　二次函数 .
　　(1)△>0，方程 有两不等实根，二次函数的图象与 轴有两个交点，二次函数有两个零点.
　　(2)△=0，方程 有两相等实根，二次函数的图象与 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点.
　　(3)△<0，方程 无实根，二次函数的图象与 轴无交点，二次函数无零点.
　　5.函数的模型
;2022-07-04